有限数学示例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.3 \\ 2 & 0.46 \\ 3 & 0.12 \\ 4 & 0.12 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ……）的离散随机变量 $x$ 。其概率分布将概率 $x$ 赋值给每一个可能值 $P (x)$ 。对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，且所有可能 $x$ 值的概率之和等于 $1$ 。

1. 对每一个 $x$ ， $0 \leq P (x) \leq 1$ 。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.3

$0.46$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.46$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.4

$0.12$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.12$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.5

对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的 $0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.6

求所有可能 $x$ 值的概率之和。

$0.3 + 0.46 + 0.12 + 0.12$

解题步骤 1.7

所有可能 $x$ 值的概率之和为 $0.3 + 0.46 + 0.12 + 0.12 = 1$ 。

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解题步骤 1.7.1

将 $0.3$ 和 $0.46$ 相加。

$0.76 + 0.12 + 0.12$

解题步骤 1.7.2

将 $0.76$ 和 $0.12$ 相加。

$0.88 + 0.12$

解题步骤 1.7.3

将 $0.88$ 和 $0.12$ 相加。

$1$

解题步骤 1.8

对于每一个 $x$ ， $P (x)$ 的概率都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间内。此外，所有可能的 $x$ 的概率之和等于 $1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.3 + 0.46 + 0.12 + 0.12 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.3 + 0.46 + 0.12 + 0.12 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

$1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.46 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.12$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将 $0.3$ 乘以 $1$ 。

$0.3 + 2 \cdot 0.46 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.12$

解题步骤 3.2

将 $2$ 乘以 $0.46$ 。

$0.3 + 0.92 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.12$

解题步骤 3.3

将 $3$ 乘以 $0.12$ 。

$0.3 + 0.92 + 0.36 + 4 \cdot 0.12$

解题步骤 3.4

将 $4$ 乘以 $0.12$ 。

$0.3 + 0.92 + 0.36 + 0.48$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $0.3$ 和 $0.92$ 相加。

$1.22 + 0.36 + 0.48$

解题步骤 4.2

将 $1.22$ 和 $0.36$ 相加。

$1.58 + 0.48$

解题步骤 4.3

将 $1.58$ 和 $0.48$ 相加。

$2.06$

解题步骤 5

分布的标准差是对离差的量度并且等于方差的平方根。

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

解题步骤 6

填入已知值。

$\sqrt{{(1 - (2.06))}^{2} \cdot 0.3 + {(2 - (2.06))}^{2} \cdot 0.46 + {(3 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2.06$ 。

$\sqrt{{(1 - 2.06)}^{2} \cdot 0.3 + {(2 - (2.06))}^{2} \cdot 0.46 + {(3 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2.06$ 。

$\sqrt{{(- 1.06)}^{2} \cdot 0.3 + {(2 - (2.06))}^{2} \cdot 0.46 + {(3 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.3

对 $- 1.06$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1.1236 \cdot 0.3 + {(2 - (2.06))}^{2} \cdot 0.46 + {(3 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.4

将 $1.1236$ 乘以 $0.3$ 。

$\sqrt{0.33708 + {(2 - (2.06))}^{2} \cdot 0.46 + {(3 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.5

将 $- 1$ 乘以 $2.06$ 。

$\sqrt{0.33708 + {(2 - 2.06)}^{2} \cdot 0.46 + {(3 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.6

从 $2$ 中减去 $2.06$ 。

$\sqrt{0.33708 + {(- 0.06)}^{2} \cdot 0.46 + {(3 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.7

对 $- 0.06$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{0.33708 + 0.0036 \cdot 0.46 + {(3 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.8

将 $0.0036$ 乘以 $0.46$ 。

$\sqrt{0.33708 + 0.001656 + {(3 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.9

将 $- 1$ 乘以 $2.06$ 。

$\sqrt{0.33708 + 0.001656 + {(3 - 2.06)}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.10

从 $3$ 中减去 $2.06$ 。

$\sqrt{0.33708 + 0.001656 + {0.94}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.11

对 $0.94$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{0.33708 + 0.001656 + 0.8836 \cdot 0.12 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.12

将 $0.8836$ 乘以 $0.12$ 。

$\sqrt{0.33708 + 0.001656 + 0.106032 + {(4 - (2.06))}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.13

将 $- 1$ 乘以 $2.06$ 。

$\sqrt{0.33708 + 0.001656 + 0.106032 + {(4 - 2.06)}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.14

从 $4$ 中减去 $2.06$ 。

$\sqrt{0.33708 + 0.001656 + 0.106032 + {1.94}^{2} \cdot 0.12}$

解题步骤 7.15

对 $1.94$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{0.33708 + 0.001656 + 0.106032 + 3.7636 \cdot 0.12}$

解题步骤 7.16

将 $3.7636$ 乘以 $0.12$ 。

$\sqrt{0.33708 + 0.001656 + 0.106032 + 0.451632}$

解题步骤 7.17

将 $0.33708$ 和 $0.001656$ 相加。

$\sqrt{0.338736 + 0.106032 + 0.451632}$

解题步骤 7.18

将 $0.338736$ 和 $0.106032$ 相加。

$\sqrt{0.444768 + 0.451632}$

解题步骤 7.19

将 $0.444768$ 和 $0.451632$ 相加。

$\sqrt{0.8964}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{0.8964}$

小数形式：

$0.94678403 \dots$

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